সমস্যাঃ একটি ফাংশন তৈরি করতে হবে, যেখানে একটি বাইনারি ট্রি ইনপুট দেওয়া হলে সেটি বাইনারি সার্চ ট্রি (BST) কী না, তা বের করতে হবে।
সমাধানঃ কোনো বাইনারি ট্রি-কে বাইনারি সার্চ ট্রি হতে হলে ওই ট্রি-এর যেকোনো নোডের বামদিকের চাইল্ড ও নাতি-পুতি নোডগুলো ওই নোডের চেয়ে ছোট এবং ডানদিকের চাইল্ড ও নাতি-পুতি নোডগুলো ওই নোডের চেয়ে বড় হতে হবে। যেমন নিচের ট্রি-টি একটি বাইনারি সার্চ ট্রি –
6
/ \
3 12
/ \ / \
1 4 9 13
কিন্তু নিচের বাইনারি ট্রি-টি বাইনারি সার্চ ট্রি নয় (কেন?)
6
/ \
3 12
/ \ / \
1 7 9 13
নোটঃ বাইনারি সার্চ ট্রি নিয়ে আমি বিস্তারিত আলোচনা করেছি, কম্পিউটার প্রোগ্রামিং ৩য় খণ্ড – ডেটা স্ট্রাকচার ও অ্যালগরিদম পরিচিতি এবং পাইথন দিয়ে প্রোগ্রামিং শেখা ৩য় খণ্ড – ডেটা স্ট্রাকচার ও অ্যালগরিদম পরিচিতি বইতে।
এখন আমরা যদি প্রতিটি নোডের বামদিকের নোডটি সেই নোডের চেয়ে ছোট কী না এবং ডানদিকের নোডটি সেই নোডের চেয়ে বড় কী না, সেটি পরীক্ষা করি, তাহলে কিন্তু সমাধান সঠিক হবে না। কেন সঠিক হবে না, সেটি না বুঝলে ওপরে যেই দুটি উদাহরণ দিয়েছি, তা ভালোমতো বুঝতে হবে। তাহলে সমাধান কী? প্রতিটি নোডের বামদিকে যতগুলো নোড আছে, সেগুলো ওই নোডের চেয়ে ছোট কী না এবং তার ডানদিকে যতগুলো নোড আছে, সেগুলো ওই নোডের চেয়ে বড় কী না, তা পরীক্ষা করতে হবে। তাহলে আমরা পাইথনে কোড লিখে ফেলি –
class node:
def __init__(self, data):
self.data = data
self.left = None
self.right = None
def find_max(root):
max_v = root.data
if root.left:
left_max = find_max(root.left)
if left_max > max_v:
max_v = left_max
if root.right:
right_max = find_max(root.right)
if right_max > max_v:
max_v = right_max
return max_v
def check_binary_search_tree(root):
if root is None:
return True
# find the largest number on the left sub-tree and check if it's smaller/equal to the root
if root.left:
max_value = find_max(root.left)
if max_value >= root.data:
return False
# find the smallest number on the right sub-tree and check if it's larger than the root
if root.right:
min_value = find_min(root.right)
if min_value <= root.data:
return False
# now do the same for the sub-trees
valid_left = check_binary_search_tree(root.left)
valid_right = check_binary_search_tree(root.right)
return valid_left and valid_right
ওপরে find_min ফাংশনটি আমি ইমপ্লিমেন্ট করলাম না, find_max কীভাবে কাজ করে বুঝলে find_min তৈরি করতে সমস্যা হবে না। এখন প্রশ্ন হচ্ছে, ওপরের ফাংশনটির কমপ্লেক্সিটি কত? ফাংশনটির টাইম কমপ্লেক্সিটি হচ্ছে O(n^2). কীভাবে সেটি বুঝতে না পারলে একটি বাইনারি ট্রি, যেটি কী না বাইনারি সার্চ ট্রি, সেটি নিয়ে অ্যানালাইসিস করলে বুঝতে পারা যাবে (এই লেখার প্রথম উদাহরণের ট্রি-এর মতো)।
আরো ভালো সমাধানঃ আমরা O(n) টাইম কমপ্লেক্সিটিতে সমস্যাটির সমাধান করতে পারি। এজন্য আমরা ট্রি-টি ইনঅর্ডার ট্রাভার্সাল করে নোডগুলো একটি লিস্টে রেখে দেব। তারপরে দেখব যে, ওই লিস্টের সবগুলো উপাদান ছোট থেকে বড় ক্রমে সর্ট করা আছে কী না, যদি না থাকে তাহলে এটি বাইনারি সার্চ ট্রি নয়, অন্যথা এটি একটি বাইনারি সার্চ ট্রি।
def check_binary_search_tree_(root):
nodes = []
def inorder(root):
if root is None:
return
inorder(root.left)
nodes.append(root.data)
inorder(root.right)
inorder(root)
for i in range(len(nodes)-1):
if nodes[i] >= nodes[i+1]:
return False
return True
আমরা কিন্তু সময় বাঁচাতে গিয়ে একটু বেশি জায়গা খরচ করে ফেলেছি। কারণ এখানে আমরা একটি অতিরিক্ত লিস্ট ব্যবহার করেছি। এখন, আমরা যদি একটু চিন্তা করি কিংবা চেষ্টা করি, তাহলে এই অতিরিক্ত জায়গা ব্যবহার না করেও কিন্তু সমস্যাটির সমাধান করা যায়। আমি কোড লিখে দিচ্ছি, তবে আমার কোড দেখার আগে নিজে নিজে কাজটি করার চেষ্টা করা উচিত। আর সমাধান সঠিক হলো কী না, তা যাচাই করা যাবে নিচের যেকোনো একটি লিঙ্কে গেলে –
ওপরের লিঙ্কগুলোতে পাইথন ছাড়াও অন্য ভাষা ব্যবহার করা যাবে।
def check_binary_search_tree(root):
def inorder(root):
nonlocal last_node
if root is None:
return True
left_valid = inorder(root.left)
if left_valid is False:
return False
if root.data <= last_node:
return False
last_node = root.data
return inorder(root.right)
last_node = -1 #assuming all nodes are non-negative
return inorder(root)
লেখাটি যাদের কাজে আসতে পারে, তাদের সঙ্গে শেয়ার করার অনুরোধ রইলো। ধন্যবাদ।